函数与极限

数列极限

定义

设$\{x_n\}$为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的整数$\varepsilon$（无论它何其小），总存在正整数N，使得当$n > N$时，不等式
$|x_n - a|<\varepsilon$ 都成立，则称常数a是数列${\{x_n\}}$的极限，或者称数列$\{x_n\}$收敛于a，记为
$\lim_{n \to \infty} x_n = a$ 或
$x_n \to a (n \to \infty)$

函数极限

定义1

设函数f(x)在点$x_0$的某一去心邻域内有定义。如果存在常数A，对于任意给定的正数$\varepsilon$（无论它何其小），总存在正数$\delta$，使得当x满足不等式$0<|x - x_0|<\delta$时，对应的函数值f(x)都满足不等式 $|f(x) - A|<\varepsilon$ ，那么常数A就叫做函数f(x)当$x \to x_0$时的极限，记作 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A 或 f(x) \to A(当x \to x_0)$。

定义2

设函数f(x)当|x|大于某一正数时有定义。如果存在常数A，对于任意给定的正数$\varepsilon$（无论它何其小），总存在着正数X，使得当x满足不等式|x| > X时，对应的函数f(x)都满足不等式 $|f(x) - A|<\varepsilon$ ，那么常数A就叫做函数f(x)当$x \to \infty$时的极限，记作 $\lim_{x \to \infty} f(x) = A 或 f(x) \to A(当x \to \infty)$。

无穷小与无穷大

无穷小定义

如果函数f(x)当$x \to x_0（或x \to \infty）$时的极限为零，那么称函数f(x)为当$x \to x_0（或x \to \infty）$时的无穷小。

无穷大定义

设函数f(x)在点$x_0$的某一去心邻域内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）。如果对于任意给定的正数M（无论它何其大），总存在正数$\delta$（或正数X），只要x适合不等式$0<|x - x_0|<\delta（或|x| < X）$时，对应的函数值f(x)总满足不等式 $|f(x)|>M$ ，则称函数f(x)为当$x \to x_0（或x \to \infty）$时的无穷大。

极限运算法则

定理1

有限个无穷小的和也是无穷小。

定理2

有界函数与无穷小的乘积是无穷小。

推论1

常数与无穷小的乘积是无穷小。

推论2

有限个无穷小的乘积也是无穷小。

定理3

如果$\lim f(x) = A，\lim g(x) = B$，那么

• (1)$\lim [f(x) \pm g(x)] = \lim f(x) \pm \lim g(x) = A \pm B$;
• (2)$\lim [f(x) \cdot g(x)] = \lim f(x) \cdot \lim g(x) = A \cdot B$;
• (3)若又有$B \neq 0$，则$\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim f(x)}{\lim g(x)} = \frac{A}{B}$.

推论1

如果$\lim f(x)$存在，而c为常数，则$\lim [c f(x)] = c \lim f(x)$

推论2

如果$\lim f(x)$存在，而n为正整数，则$\lim [f(x)]^n = [\lim f(x)]^n$

定理4

设有数列${x_n}$和${y_n}$。如果$\lim_{n \to \infty} x_n = A, \lim_{n \to \infty} y_n = B$，那么

• (1)$\lim_{n \to \infty} (x_n \pm y_n) = A \pm B$
• (2)$\lim_{n \to \infty} x_n \cdot y_n = A \cdot B$
• (3)当$y_n \neq0(n = 1,2,...)$且$B \neq 0$时，$\lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n} = \frac{A}{B}$

定理5

如果$\varphi(x) \geq \psi(x)$，而$\lim \varphi(x) = a, \lim \psi(x) = b$，那么$a \geq b$。

定理6（复合函数的极限运算法则）

设函数$y = f[g(x)]$是由函数$u = g(x)$与函数$y = g(u)$复合而成，$f[g(x)]$在点$x_0$的某去心邻域内有定义，若$\lim_ {x\to x_0} g(x) = u_0, \lim_ {u\to u_0} f(u) = A$，且存在$\delta_0 > 0$，当$x \in \bigcup ^ \circ (x_0, \delta_0)$时，有$g(x) \pm u_0$，则$\lim_{x \to x_0} f[g(x)] = \lim_{u \to u_0} f(u) = A$

极限存在准则

准则1及准则1'称为夹逼准则。

准则1

如果数列$\{x_n\}$、$\{y_n\}$及$\{z_n\}$满足下列条件：
(1) 从某项起，即$\exists n_0 \in N$，当$n > n_0$时，有$y_n \leq x_n \leq z_n$ (2) $\lim_{n \to \infty} y_n = a, \lim_{n \to \infty} z_n = a$ 那么数列$\{x_n\}$的极限存在，且$\lim_{n \to \infty} x_n = a$。

准则1'

如果
(1) $x \in \bigcup ^ \circ (x_0, r)$（或$|x| > M$）时，$g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ (2) $\lim_{x \to x_0 (x \to \infty)} g(x) = A, \lim_{x \to x_0 (x \to \infty)} h(x) = A$ 那么$\lim_{x \to x_0 (x \to \infty)} f(x)$存在，且等于A。

准则2

单调有界数列必有极限。

准则2'

设函数f(x)在点$x_0$的某个左邻域内单调并且有界，则f(x)在$x_0$的左极限$f(x_0^-)$必定存在。

柯西极限存在准则（柯西审敛原理）

数列$\{x_n\}$收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数$\varepsilon$，存在着这样的正整数N，使得当$m > N, n > N$时，就有$|x_n - x_m| < \varepsilon$。

无穷小的比较

定义

• 如果$\lim \frac{\beta}{\alpha} = 0$, 就说$\beta$是比$\alpha$高阶的无穷小，记作$\beta = \omicron (\alpha)$;
• 如果$\lim \frac{\beta}{\alpha} = \infty$, 就说$\beta$是比$\alpha$低阶的无穷小;
• 如果$\lim \frac{\beta}{\alpha} = c \neq 0$, 就说$\beta$与$\alpha$是同阶无穷小;
• 如果$\lim \frac{\beta}{\alpha} = c \neq 0, k > 0$, 就说$\beta$是关于$\alpha$的k阶无穷小;
• 如果$\lim \frac{\beta}{\alpha} = 1$, 就说$\beta$与$\alpha$的等阶无穷小，记作$\alpha$~$\beta$。

定理1

$\beta$与$\alpha$是等价无穷小的充分必要条件为$\beta = \alpha + \omicron (\alpha)$。

定理2

设$\alpha$~$\alpha '$，$\beta$~$\beta '$，且$\lim \frac{\beta '}{\alpha '}$存在，则$\lim \frac{\beta}{\alpha} = \lim \frac{\beta '}{\alpha '}$。

函数的连续性与间断点

定义1

设函数y = f(x)在点$x_0$的某一邻域内有定义，如果$\lim_{\Delta x \to 0}[f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)] = 0$，那么就称函数y = f(x)在点$x_0$连续。

函数`y = f(x)`在点$x_0$连续的定义：
设函数{% math %}y = f(x){% endmath %}在点$x_0$的某一邻域内有定义，如果$\lim_{\Delta x \to 0}[f(x)] = f(x_0)$，那么就称函数f(x)在点$x_0$连续。

定义2

设函数y = f(x)在点$x_0$的某去心邻域内有定义。在此前提下，如果函数f(x)有下列三种情形之一：

• (1) 在$x = x_0$没有定义；
• (2) 虽在$x = x_0$有定义，但$\lim_{x \to x_0} f(x)$不存在；
• (3) 虽在$x = x_0$有定义，且$\lim_{x \to x_0} f(x)$存在，但$\lim_{x \to x_0} f(x) \neq f(x_0)$，

则函数f(x)在点$x_0$为不连续，而点$x_0$称为函数f(x)的不连续点或间断点。

连续函数的运算与初等函数的连续性

定理1

设函数f(x)和g(x)在点$x_0$连续，则它们的和（差）$f \pm g$、积$f \cdot g$及商$\frac{f}{g}$（当$g(x_0) \neq 0$时）都在点$x_0$连续。

定理2

如果函数y = f(x)在区间$I_x$上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数$x = f^{-1}(y)$也在对应的区间$I_y = \{y|y=f(x), x \in I_x\}$上单调增加（或单调减少）且连续。

定理3

设函数y = [g(x)]由函数u = g(x)与函数y = f(u)复合而成，$U^\circ (x_0) \subset D_{f \cdot g}$。若$\lim_{x \to x_0} g(x) = u_0$，而函数$y = f(u)$在$u = u_0$连续，则$\lim_{x \to x_0} f[g(x)] = lim_{u \to u_0} f(u) = f(u_0)$。

定理4

设函数y = [g(x)]由函数u = g(x)与函数y = f(u)复合而成，$U(x_0) \subset D_{f \cdot g}$。若函数$u = g(x)$在$x = x_0$连续，而函数$y = f(u)$在$u = u_0$连续，则复合函数y = [g(x)]在$x = x_0$也连续。

闭区间上连续函数的性质

定理1

（有界性与最大值最小值定理）
在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值。

定理2

（零点定理）
设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，且f(a)与f(b)异号（即$f(a) \cdot f(b) < 0$），那么在开区间$(a, b)$内至少有一点$\xi$，使$f(\xi) = 0$。

定理3

（介值定理）
设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值f(a) = A及f(b) = B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间$(a, b)$内至少有一点$\xi$，使得$f(\xi) = C (a < \xi < b)$。

定义

设函数f(x)在区间I上有定义。若果对于任意给定的正数$\varepsilon$，总存在着正数$\delta$，使得对于区间I上的任意两点$x_1、x_2$，当$|x_1 - x_2| < \delta$时，就有$|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$，那么称函数f(x)在区间I上是一致连续的。

定理4

（一致连续性定理）
如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，那么它在该区间上一直连续。