导数与微分

导数

定义

设函数$f(x)$在点$x_0$的某领域内有定义，当自变量$x$在$x_0$处取得增量$\Delta x$（点$x_0 + \Delta x$仍在该领域内）时，相应的函数取得增量$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$；如果$\Delta y$与$\Delta x$之比当$\Delta x \to 0$时的极限存在，则函数$y = f(x)$在点$x_0$处可导，并称这个极限为函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数，记作$f'(x_0)$，即 $f'(x_0) = f'(x)|_{x=x_0} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

简单函数的导数

• $(C)' = 0$，C为常数
• $(x^{\mu})' = \mu x^{\mu - 1}$
• $(sin x)' = cos x$
• $(a^x)' = a^x lna$
• $(log_a x)' = \frac{1}{x ln a}$

注意

函数$f(x)$在点$x_0$处可导的充分必要条件是左导数$f'_-(x_0)$和右导数$f'_+(x_0)$都存在且相等。

函数可导与连续性关系

函数$y=f(x)$在$x$处可导，则函数在该点必连续。然而，函数$y=f(x)$在$x$处连续，却不一定在该点可导。

函数的求导法则

定理1

如果函数$u = u(x)$及$v = v(x)$都在点$x$具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为0的点外）都在点$x$具有导数，且

• (1) $[u(x) \pm v(x)]' = u'(x) \pm v'(x)$
• (2) $[u(x) v(x)]' = u'(x) v(x) + u(x) v'(x)$
• (3) $[\frac{u(x)}{v(x)}]' = \frac{u'(x) v(x) - u(x) v'(x)}{v^2(x)} (v(x) \neq 0)$

定理2

如果函数$x = f(y)$在区间$I_y$内单调、可导且$f'(y) \neq 0$，则它的反函数$y = f^{-1}(x)$在区间$I_x = {x|x=f(y), y \in I_y}$内也可导，且$[f^{-1}(x)]' = \frac{1}{f'(y)} 或 \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$。

定理3

如果函数$u = g(x)$在点$x$可导，而$y = f(u)$在点$u = g(x)$可导，则复合函数$y = f[g(x)]$在点$x$可导，且其导数为$\frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot g'(x) 或 \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$。

高阶导数

莱布尼兹公式

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n C^k_n u^{(n - k)} v^{(k)}$

格式与二项式定理展开类似：
$(u + v)^n = u^n v^0 + n u^{n-1}v^1 + \frac{n(n-1)}{2!} u^{n-2} v^2 + \cdots + u^0 v^n$ ，即 $(u + v)^{n} = \sum_{k=0}^n C^k_n u^{n - k} v^{k}$

隐函数及参数方程

隐函数的显化

如，从方程$x + y^3 - 1 = 0$解出$y = \sqrt[3]{1-x}$，即将隐函数化成了显函数。

求导

隐函数求导法

例子：
【求由方程$x - y + \frac{1}{2} \sin y = 0$所确定的隐函数的二阶导数$\frac{d^2y}{dx^2}$。】
解：应用隐函数的求导方法，得
$1 - \frac{dy}{dx} + \frac{1}{2} \cos y \cdot \frac{dy}{dx}$ 于是，$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{2 - \cos y}$。
然后上式两边再对$x$求导，得
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-2 \sin \frac{dy}{dx}}{(2 - \cos y)^2} = \frac{-4 \sin y}{(2 - \cos y)^3}$

对数求导法

例子：
【求$y = \sqrt{\frac{(x - 1)(x - 2)}{(x - 3)(x - 4)}}$的导数。】
解：先对两边取对数（设$x > 4$），得
$lny = \frac{1}{2} [ln(x - 1) + ln(x - 2) - ln(x - 3) - ln(x - 4)]$ ，上式两边对$x$求导，注意到$y = y(x)$，得
$y' = \frac{y}{2} (\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x - 4})$ 当$x < 1$时，$y = \sqrt{\frac{(1 - x)(2 - x)}{(3 - x)(4 - x)}}$
当$2< x < 3$时，$y = \sqrt{\frac{(x - 1)(x - 2)}{(3 - x)(4 - x)}}$
用同样的方法可得与上面相同的结果。

参数方程求导

例子：
【求由摆线的参数方程$\{^{x = a(t - sint)}_{y = a(1 - cost)}$，所确定的函数$y = y(x)$的二阶导数。】
解：$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{a sint}{a(1-cost)} = \frac{sint}{1-cost} = cot \frac{t}{2} (t \neq 2n \pi,n \in Z)$ $\frac{d^2(y)}{dx^2} = \frac{d}{dt}(cot \frac{t}{2}) \cdot \frac{1}{\frac{dx}{dt}} = - \frac{1}{2 sin^2 \frac{t}{2}} \cdot \frac{1}{a(1 - cost)} = - \frac{1}{a(1- cost)^2} (t \neq 2n \pi,n \in Z)$

函数的微分

定义

设函数$y=f(x)$在某区间内有定义，$x_0$及$x_0+\Delta x$在这区间内，如果增量$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$可表示为$\Delta y = A \Delta x + \omicron(\Delta x)$，其中A是不依赖于$\Delta x$的常数，那么称函数$y = f(x)$在点$x_0$是可微的，而$A \Delta x$叫做函数$y = f(x)$在点$x_0$相应于自变量增量$\Delta x$的微分，记作$dy$，即 $dy = A \Delta x$

函数和、差、积、商的微分法则

复合函数的微分法则

设函数$y=f(u)$及$u=g(x)$都可导，则复合函数$y=f[g(x)]$的微分为$dy = y_x' dx = f'(u)g'(x)dx$ ，由于$g'(x)dx = du$，所以，复合函数$y = f[g(x)]$的微分公式也可以写成$dy = f'(u)du 或 dy = y_u' du$。

函数的近似计算

如果$y = f(x)$在点$x_0$处的导数$f'(x_0) \neq 0$，且$|\Delta x|$很小时，有$\Delta y \approx dy = f'(x_0) \Delta x$

误差估计

如果某个量的精确值为A，近似值为a，那么$|A - a|$叫做a的绝对误差，而$\frac{|A - a|}{|a|}$叫做a的相对误差。