微分中值定理与导数的应用

微分中值定理

费马定理

设函数$f(x)$在点$x_0$的某邻域$U(x_0)$内有定义，并且在$x_0$处可导，如果对任意的$x \in U(x_0)$，有$f(x) \leq f(x_0) (或 f(x) \geq f(x_0))$，那么$f'(x) = 0$。【通常导数为0的点成为函数的驻点（或稳定点，临界点）】

罗尔定理

如果函数$f(x)$满足

• (1) 在闭区间$[a, b]$上连续；
• (2) 在开区间$(a, b)$内可导；
• (3) 在区间端点处的函数值相等，即$f(a) = f(b)$, 那么在$(a, b)$内至少有一点$\xi (a < \xi < b)$，使得$f'(\xi) = 0$

拉格朗日中值定理

如果函数$f(x)$满足

• (1) 在闭区间$[a, b]$上连续；
• (2) 在开区间$(a, b)$内可导； 那么在$(a, b)$内至少有一点$\xi (a < \xi < b)$，使等式 $f(a) - f(b) = f'(\xi)(b - a)$ 成立。

柯西中值定理

如果函数$f(x)$及$F(x)$满足

• (1) 在闭区间$[a, b]$上连续；
• (2) 在开区间$(a, b)$内可导；
• (3) 对任一$x \in (a, b), F'(x) \neq 0$， 那么在$(a, b)$内至少有一点$\xi$，使等式 $\frac{f(b) - f(a)}{F(b) - F(a)} = \frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}$ 成立。

洛必达法则

定理1

设

• (1) 当$x \to a$时，函数$f(x)$及$F(x)$都趋于零；
• (2) 在点$a$的某去心邻域内，$f'(x)$及$F'(x)$都存在且$F'(x) \neq 0$；
• (3) $\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{F'(x)}$存在（或为无穷大）， 那么$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{F(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{F'(x)}$。

定理2

设

• (1) 当$x \to \infty$时，函数$f(x)$及$F(x)$都趋于零；
• (2) 当$|x| > N$时，函数$f'(x)$及$F'(x)$都存在，且$F'(x) \neq 0$；
• (3) $\lim_{x \to \infty} \frac{f'(x)}{F'(x)}$存在（或为无穷大）， 那么$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{F(x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{f'(x)}{F'(x)}$。

泰勒公式

泰勒中值定理

如果函数$f(x)$在含有$x_0$的某个开区间(a, b)内具有直到(n+1)阶的导数，则对任一$x \in (a, b)$，有 $f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + ... + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + R_n(x)$， 其中$R_n = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - x_0)^{n+1}$， 这里$\xi$是$x_0$与$x$之间的某个值。

泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广：
在泰勒公式中，当$n=0$时，泰勒公式变成拉格朗日中值公式：
$f(x) = f(x_0) + f'(\xi)(x-x_0) (\xi 在x_0与x之间)$

函数单调性与曲线的凹凸性

定理1

设函数$y = f(x)$在$[a, b]$上连续，在$(a, b)$内可导。

• (1) 如果在$(a, b)$内$f'(x) > 0$，那么函数$y = f(x)$在$[a, b]$上单调增加；
• (2) 如果在$(a, b)$内$f'(x) < 0$，那么函数$y = f(x)$在$[a, b]$上单调减少。

曲线凹凸定义

设$f(x)$在区间$I$上连续，如果对$I$上任意两点$x_1,x_2$恒有$f(\frac{x_1+x_2}{2}) < \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$， 那么称$f(x)$在$I$上的图形是（向上）凹的（或凹弧）； 如果恒有$f(\frac{x_1+x_2}{2}) > \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$， 那么称$f(x)$在$I$上的图形是（向上）凸的（或凸弧）。

定理2

设$f(x)$在$[a, b]$上连续，在$(a, b)$内具有一阶和二阶导数，那么

• (1) 若在$(a, b)$内$f''(x) > 0$，那么函数$f(x)$在$[a, b]$上的图形是凹的；
• (2) 若在$(a, b)$内$f''(x) < 0$，那么函数$f(x)$在$[a, b]$上的图形是凸的。

拐点

如果曲线$y=f(x)$在经过点$(x_0, f(x_0))$时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点$(x_0, f(x_0))$为这曲线的拐点。

函数的极值与最大值最小值

定理1（必要条件）

设函数$f(x)$在$x_0$处可导，且在$x_0$处取得极值，那么$f'(x_0) = 0$。

定理2（第一充分条件）

设函数$f(x)$在$x_0$处连续，且在$x_0$的某去心邻域$\bigcup ^ \circ (x_0, \delta)$内可导。

• (1) 若$x \in \bigcup ^ \circ (x_0 - \delta, x_0)$时，$f'(x) > 0$，而$x \in \bigcup ^ \circ (x_0, x_0 + \delta)$时，$f'(x) < 0$，则$f(x)$在$x_0$处取得极大值；
• (2) 若$x \in \bigcup ^ \circ (x_0 - \delta, x_0)$时，$f'(x) < 0$，而$x \in \bigcup ^ \circ (x_0, x_0 + \delta)$时，$f'(x) > 0$，则$f(x)$在$x_0$处取得极小值。
• (3) 若$x \in \bigcup ^ \circ (x_0, \delta)$时，$f'(x)$的符号保持不变，则$f(x)$在$x_0$处没有极值。

求极值

• (1) 求出导数$f'(x)$；
• (2) 求出$f(x)$的全部驻点和不可导点；
• (3) 考察$f'(x)$的符号在每个驻点或不可导点的左、右邻近的情形，以确定该点是否为极值点；如果是极值点，进一步确定是极大值点还是极小值点；
• (4) 求出各极值点的函数值，就得到函数$f'(x)$的全部极值。

定理3（第二充分条件）

设函数$f(x)$在$x_0$处具有二阶导数且$f'(x_0) = 0, f''(x_0) \neq 0$，那么

• (1) 当$f''(x_0) < 0$时，函数$f(x)$在$x_0$处取得极大值；
• (2) 当$f''(x_0) > 0$时，函数$f(x)$在$x_0$处取得极小值。

求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值

• (1) 求出$f(x)$在$(a, b)$内的驻点$x_1, x_2, ... , x_m$及不可导点$x_1', x_2', ... , x_n'$；
• (2) 计算$f(x_i)(i=1,2,...,m),f(x_j')(j=1,2,...,n)$及$f(a), f(b)$；
• (3) 比较(2)中诸值的大小，其中最大的便是$f(x)$在$[a, b]$上的最大值，最小的便是$f(x)$在$[a, b]$上的最小值。

函数图形的描绘

曲率

弧微分公式

$\frac{ds}{dx} = \pm \sqrt{1+y'^2}$

曲率公式

$K=|\frac{d \alpha}{ds}|$ 其中$\alpha$为倾角。

曲率半径

曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点曲率互为倒数。

方程的近似解

求方程近似解的步骤：

• (1) 确定根的大致范围。亦即确定一个区间[a, b]，使所求的根是位于此区间的唯一实根。这一步工作成为根的隔离，区间[a, b]称为所求实根的隔离区间。
• (2) 以根的隔离区间的端点作为根的初始近似值，逐步改善根的近似值的精确度，直至求得满足精确度要求的近似解。

完成第二步工作有多种方法，如二分法和切线法。