观察空间到裁剪空间的投影矩阵推导

关于观察空间和裁剪空间

观察空间（view space）

• 观察空间也被称为摄像机空间（camera space），是模型空间（model space，随着模型移动而移动的空间）的一个特例。
• 观察空间是一个三维空间，而屏幕空间是一个二维空间。从观察空间到屏幕空间的转换需要经过一个操作，那就是投影（projection）。

裁剪空间（clip space）

• 裁剪空间也被称为齐次裁剪空间。
• 裁剪空间的目标是能够方便地对渲染图元进行裁剪；完全位于这块空间内部的图元将会被保留，完全位于这块空间外部的图元将会被剔除，而与这块空间边界相交的图元则会被裁剪。

关于透视投影和正交投影

裁剪空间由视锥体（view frustum）决定，而视锥体由六个裁剪平面（clip planes）包围而成。
在视锥体的裁剪平面中，由2块裁剪平面比较特殊，其分别被称为近裁剪平面（neer clip plane）和远裁剪平面（far clip plane）。它们决定了摄像机可以看到的深度范围。
视锥体有两种类型，一种是透视投影（perspective projection），另一种是正交投影（orthographic projection）。

透视投影

• 在透视投影中，地板上的平行线并不会保持平行，离摄像机越近网格越大，离摄像机越远网格越小。
• 此投影方式模拟了人眼看世界的方式。
• 此投影一般应用于追求正式工的3D游戏中。

正交投影

• 在正交投影中，所有的网格大小都一样，而且平行线会一直保持平行。
• 此投影完全保留了物体的距离和角度。
• 此投影一般应用于2D游戏或渲染小地图等其他HUD（Head Up Display，平视显示器））元素。

关于投影矩阵

投影矩阵（projection matrx）又称为裁剪矩阵（clip matrix）。
该矩阵的作用是，将顶点从观察空间转换到裁剪空间。

投影矩阵的目的

• 首先为投影做准备。虽然投影矩阵的名称包含了投影二字，但是它并没有进行真正的投影工作，而是在为投影做准备。真正的投影发生在齐次除法（homogeneous division）过程中。而经过投影矩阵的变换后，顶点的w分量将会具有特殊的意义。
• 其次是对x、y、z分量进行缩放。经过投影矩阵的缩放后，可以直接使用w分量作为一个范围值，如果x、y、z分量都位于这个范围内，就说明该顶点位于裁剪空间内。

透视投影矩阵推导

投影变换

投影变换主要分为两个步骤。首先，它将所有顶点数据从观察坐标转换到裁减坐标。接着，这些裁减坐标通过除以w分量的方式转换到归一化设备坐标（NDC）。
基于以上变换，可以得出以下关系：

透视投影视锥体

透视视锥体与归一化设备坐标

• 在透视投影中，截棱锥体（观察坐标）中的点坐标会被映射到立方体（NDC）中。x坐标的范围从[l,f]到[-1,1]，y坐标的范围从[b,t]到[-1,1]，z坐标的范围从[n,f]到[-1,1]。

观察空间中的点(xe,ye,ze)投影至近平面上的点(xp,yp,zp)

点坐标的映射关系

以下为观察空间中的点被投影到近平面（投影平面）上的示意图：
透视视锥体的俯视图
透视视锥体的侧视图

利用三角形相似的性质，可以得出以下对应关系：
xp = -n/ze * xe
yp = -n/ze * ye
zp = -n

观察坐标、裁剪坐标、归一化坐标（NDC）

这里，将观察坐标变量的下标简化为e，裁剪坐标变量简化为c，归一化坐标简化为n。

裁减坐标的w分量（推导投影矩阵的第4行）

由以上得出的观察空间中的点(xe,ye,ze)投影至近平面上的映射关系，可知xp和yp都整除于-ze。
故而，可以将裁减坐标的w分量设置为-ze。
这样，投影矩阵的第4行为(0,0,-1,0)。如下所示。
投影矩阵第4行

xp与yp映射到NDC的xn与yn

对于近平面上的点，可以通过线性关系进行映射。 xp与yp映射到NDC中的xn与yn：[l,r]=>[-1,1]，[b,t]=>[-1,1]。如下图所示。
xp映射到xn
yp映射到yn

推导裁剪坐标的xc与yc（推导投影矩阵的第1、2行）

根据以上映射关系，可以推导出：
xn = 2*xp / (r-l) - (r+l)/(r-l)
yn = 2*yp / (t-b) - (t+b)/(t-b)
将以上得出的观察空间中的点(xe,ye,ze)投影至近平面上的映射关系得出的方程，代入以上方程，可推导得：
xn = (2*n*xe/(r-l) + (r+l)*xe/(r-l)) / -ze
yn = (2*n*ye/(t-b) + (t+b)*ye/(t-b)) / -ze
如此，可以得出投影矩阵的第1、2行：
投影矩阵第1-2-4行

逆投影（逆变换）操作找寻zn与ze之间的关系

推导投影矩阵的第3行

由于观察空间中的ze总是投影到近平面上的-n点，zn的计算方法与其他坐标的计算方法有稍许不同。
因为，z并不依赖于x与y的值，故而可借助w分量找寻zn与ze之间的关系。即指定投影矩阵的第三行（如下所示），并通过逆投影（逆变换）操作，找出zn与ze之间的关系。
投影矩阵第3行
由于在观察空间中，we等于1。因而可以得出：
zn = (A*ze + B) / -ze
将(ze,zn)的对应关系值(-n,-1)、(-f,1)代入以上方程，可得：
A = - (f+n) / (f-n)
B = - 2*f*n / (f-n)

完整投影矩阵

由以上的推导结果，可以得到完整的投影矩阵：
完整投影矩阵

小结

由ze与zn之间的关系可以看出，它是一个有理数方程，且ze与zn为非线性关系。
也就是说，近平面具有较高精度，而远平面的精度则很低。若[-n,-f]的范围变得很大，会引起深度精度问题（深度冲突）：远平面附近ze的小变化不会影响zn值。
因此，为了最小化深度缓存精度问题，n与f的距离应该尽可能小。
深度缓存精度比较

正交投影矩阵推导

正交投影视锥体

正交视锥体与归一化设备坐标

• 观察空间的xe、ye与ze分量都线性映射到NDC。我们只需将长方体缩放为正方体，然后移动它到原点。

观察空间的xe、ye与ze分量线性映射到NDC

xe映射到xn
ye映射到yn
ze映射到zn
可以得出：
xn = 2*xe / (r-l) - (r+l)/(r-l)
yn = 2*ye / (t-b) - (t+b)/(t-b)
zn = - 2*ze / (f-n) - (f+n)/(f-n)

正交投影并不需要w分量

完整正交矩阵

由以上的推导结果，可以得到完整的正交矩阵：
完整正交矩阵